Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求A₁C₁与B₁C所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A₁C₁与EF所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的性质，证出AC∥A₁C₁，由此得到∠B₁CA就是A₁C₁与B₁C所成的角．然后在正三角形△ABC₁中加以计算，可得A₁C₁与B₁C所成角的大小；
（2）平行四边形AA₁C₁C中可得AC∥A₁C₁，AC与EF所成的角就是A₁C₁与EF所成的角，进而利用三角形中位线定理与正方形的性质，即可算出A₁C₁与EF所成角的大小．

解答：解：（1）如图，连接AC、AB₁，
∵多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，可得AC∥A₁C₁，
由此得到∠B₁CA就是A₁C₁与B₁C所成的角．
又∵AB₁=B₁C=AC，可得
△ABC₁为正三角形，
∴∠B₁CA=60°，即A₁C₁与B₁C所成角为60°．
（2）如图，连接BD，
∵AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，可得AC∥A₁C₁，
∴AC与EF所成的角就是A₁C₁与EF所成的角． 
又∵EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD．
∵AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
即A₁C₁与EF所成角的大小为90°．

点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．