Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C₁截得的弦长为2

3

，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，可求直线l的方程．
（2）与（1）相同，设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l₁与l₂的方程．

解答：解：（1）由于直线x=4与圆C₁不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x-4）（1分）
圆C₁的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C₁截得的弦长为2

3

∴d=

22-( 3 )2

=1（2分）
d=

|1-k(-3-4)|

1+k2

从而k（24k+7）=0即k=0或k=-

7

24

∴直线l的方程为：y=0或7x+24y-28=0（5分）
（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-

1

k

（x-a）（6分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等
即

|1-k(-3-a)-b|

1+k2

=

|5+ 1 k (4-a)-b|

1+ 1 k2

（8分）
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5
因k的取值有无穷多个，所以

a+b-2=0  b-a+3=0

或

a-b+8=0 a+b-5=0

（10分）
解得

a= 5 2 b=- 1 2

或

a=- 3 2 b= 13 2

这样的点只可能是点P₁（

5

2

，-

1

2

）或点P₂（-

3

2

，

13

2

）
经检验点P₁和P₂满足题目条件（12分）

点评：在解决与圆相关的弦长问题时，一般有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．