Question

如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上的一个动点．若

OC

=x

OA

+y

OB

，求x+3y的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：可设扇形的半径为r，根据已知条件，对

OC

=x

OA

+y

OB

两边平方即可得到y²+xy+x²-1=0，x∈[0，1]．根据y∈[0，1]，这个关于y的方程有解，并且解为y=

-x+ 4-3x2

2

，所以x+3y=-

1

2

x+

3

2

4-3x2

，可设f（x）=-

1

2

x+

3

2

4-3x2

，通过求导容易判断f（x）在[0，1]上单调递减，所以x+3y的值域便是[f（1），f（0）]=[1，3]．

解答： 解：设扇形的半径为r；
考虑到C为弧AB上的一个动点，

OC

=x

OA

+y

OB

．显然x，y∈[0，1]；
两边平方：

OC

2=r2=(x

OA

+y

OB

)2=x2r2+2xy

OA

•

OB

+y2r2；
所以：y²+x•y+x²-1=0，显然△=4-3x²＞0；
∵y＞0，∴解得：y=

-x+ 4-3x2

2

，故x+3y=-

1

2

x+

3 4-3x2

2

；
不妨令f(x)=-

1

2

x+

3

2

4-3x2

，x∈[0，1]；
∴f′(x)=-

1

2

-

9x

2 4-3x2

＜0；
∴f（x）在x∈[0，1]上单调递减，f（0）=3，f（1）=1，∴f（x）∈[1，3]；
即x+3y的取值范围为[1，3]．

点评：考查数量积的运算，由判别式判断一元二次方程解的情况，求根公式解一元二次方程，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数的单调性求函数在闭区间上的值域．