Question

如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥CC₁，A₁B=A₁D，AB=AD．
求证：
（1）AA₁⊥BD；
（2）BB₁∥DD₁．

Answer 1

解：（1）取BD中点E，连接AE、A₁E
∵△ABD中，AB=AD，E为BD中点
∴AE⊥BD，同理可得A₁E⊥BD，
∵AE、A₁E?平面A₁AE，AE∩A₁E=E
∴BD⊥平面A₁AE，
∵AA₁?平面A₁AE，∴AA₁⊥BD；
（2）∵AA₁∥CC₁，AA₁?平面AA₁B₁B，CC₁?平面AA₁B₁B，
∴CC₁∥平面AA₁B₁B
∵CC₁?平面CC₁B₁B，平面CC₁B₁B∩平面AA₁B₁B=BB₁
∴BB₁∥CC₁，同理可得DD₁∥CC₁，
∴BB₁∥DD₁．
分析：（1）取BD中点E，连接AE、A₁E，根据等腰三角形底边的中线也是底边上的高，得AE⊥BD且A₁E⊥BD，因此BD⊥平面A₁AE，结合线面垂直的性质，得AA₁⊥BD；
（2）根据AA₁∥CC₁，结合线面平行判定定理，可证出CC₁∥平面AA₁B₁B．再用线面平行的性质定理，得BB₁∥CC₁，同理可得DD₁∥CC₁，根据平行线的传递性，可得BB₁∥DD₁．
点评：本题给出特殊六面体，求证线线垂直和线线平行，着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质等知识，属于基础题，解题时要注意规范书写，不要遗漏必要的过程．