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    如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切……圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆On的面积为an(n∈N*).

    (1)证明:{an}是等比数列；

    (2)求（a1+a2+a3+…+an）的值.

    解：（1）记rn为圆On的半径.

    r1=tan30°=l，=sin30°=,

    ∴rn=rn-1(n≥2).

    ∴a1=πr12=,

    .

    ∴{an}成等比数列.

    （2）∵an=()n-1·a1(n∈N),

    ∴（a1+a2+…+an）=.

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    如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
    （Ⅰ）证明{an}是等比数列；
    （Ⅱ）求
    limn→∞
    （a1+a2+…+an）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （03年北京卷）（13分）

    如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为.

       （Ⅰ）证明是等比数列；

       （Ⅱ）求的值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    21. 如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an（n∈N）.

    （1）证明{an}是等比数列；

     

    （2）求（a1+a2+…+an）的值.

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    科目：高中数学 来源：2003年北京市春季高考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
    （Ⅰ）证明{an}是等比数列；
    （Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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    科目：高中数学 来源：2006年高考第一轮复习数学：14.6 函数的连续性及极限的应用（解析版） 题型：解答题

    如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
    （Ⅰ）证明{an}是等比数列；
    （Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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