Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-c，0），C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）若已知椭圆的左焦点为（-1，0），右准线为x=4，圆x²+y²=

12

7

的切线与椭圆交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P的坐标为P（x，y），根据C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等，可得方程

a2

c

-x=a+ex．利用x≤a，可建立不等关系，从而可求离心率e的取值范围；
（Ⅱ）求求椭圆方程，再分斜率存在与不存在，利用直线方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理，从而得解．

解答：解：（Ⅰ）设点P的坐标为P（x，y），则|PF₁|=a+ex，P到右准线的距离为

a2

c

-x，
故

a2

c

-x=a+ex，…（2分）
化简整理，得x=

a2(a-c)

c(a+c)

，而x≤a，
∴

a2(a-c)

c(a+c)

≤a，即e²+2e-1≥0，解得

2

-1≤e＜1．…（5分）
（Ⅱ）易求得椭圆的方程为C：

x2

4

+ 

y2

3

=1．…（7分）
设切线AB不垂直于x轴时，AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则原点到直线 AB的距离为m2=

12

7

(1+k2)．…（9分）
联立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，
可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．…（10分）
∴

x1+x2=- 8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0．
即OA⊥OB．…（12分）
当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=± 

12 7

，代入椭圆方程得y=±

12 7

．
易得：OA⊥OB．
综上圆x²+y²=

12

7

的切线与椭圆交于A、B两点，且总有OA⊥OB．…（14分）

点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的性质，关键是直线方程与椭圆方程的联立．