Question

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．

Answer 1

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．

（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中

，由于点在椭圆上，有，

，

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得

．

由题设，原点到直线的距离为，即

，

将代入原式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为，

过点作，垂足为，易知，故

由椭圆定义得，又，所以

，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．

当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组

的解．当时，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

．

若，则

．

所以，．由，得．在区间内此方程的解为．

当时，必有，同理求得在区间内的解为．

另一方面，当时，可推出，从而．

综上所述，使得所述命题成立．