Question

（1）（选修4-4坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则|MN|的最大值为

5

+1

（2）（选修4-5不等式选讲）设函数f（x）=|x-1|+|x-2|，若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a，b∈R）恒成立，则实数x的取值范围是

1

2

≤x≤

5

2

．

Answer 1

分析：（1）首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离．
（2）先分离出含有a，b的式子，即

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，问题转化为求左式的最小值即可．

解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化成普通方程：
x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1
∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆
∵直L的参数方程是：

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

∴直L的普通方程是：4x+3y-8=0
∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）
∴PM=

(2-0) 2+(0-1) 2

=

5

由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于

5

+1
故答案为：

5

+1

（2）化简得：f(x)=

2x-3(x≥2) 1(1＜x＜2) 3-2x(x≤1)

，
其图象如图所示，
由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）
得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f(x)
又因为

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2
则有2≥f（x）
结合图象解不等式：2≥|x-1|+|x-2|
得

1

2

≤x≤

5

2

故答案为：

1

2

≤x≤

5

2

．

点评：（1）本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点．（2）本题主要考查了不等式的恒成立问题，通常采用分离参数的方法解决，属于基础题．