【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x.
(Ⅰ)讨论f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+x有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证:g(x2)>-ln2.
【答案】(1)当a≤0时,f(x)在上单调递减;当时,f(x)在上单调递增;
当时,f(x)在上单调递减,f(x)在上单调递增;
(2)见解析.
【解析】
(Ⅰ)先对函数求导得,再对a分类讨论得到f(x)在[0,+∞)上的单调性. (Ⅱ)先求导,设,得到g(x)在取得极大值,在取得极小值.求出,设,所以.
(Ⅰ)解:,设,
①当a≤0时,h(x)<0,∴f(x)在上单调递减;
②当2a-1≥0,即时,h(x)≥0,∴f(x)在上单调递增;
③当2a-1<0,即时,时,h(x)<0,∴f(x)单调递减;
时,h(x)>0,∴f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,f(x)在上单调递减;
当时,f(x)在上单调递增;
当时,f(x)在上单调递减,f(x)在上单调递增.
(Ⅱ)证明:,
,设,
①若 a=0,,∴g(x)在上单调递增,不合题意;
② 若a<0,∵,∴在上只有一个根,不合题意;
③ 若a>0,使有两不同实根,且,只需,即a>2.
∵,,∴,
∴g(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
∴g(x)在取得极大值,在取得极小值.
∵,
∴,
设,∴m(t)在上是增函数,
∴,∴.
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【题目】如图所示,在△ABC中,D是BC边上的一点,且AB=14,BD=6,∠ADC=,.
(Ⅰ)求sin∠DAC;
(Ⅱ)求AD的长和△ABC的面积.
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【题目】年月日是第二十七届“世界水日”,月日是第三十二届“中国水周”.我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先,强化水资源管理”.某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭,记录他们月份的用水量(单位:)如下表:
小区家庭月用水量 | ||||||||||
小区家庭月用水量 | ||||||||||
(1)根据两组数据完成下面的茎叶图,从茎叶图看,哪个小区居民节水意识更好?
(2)从用水量不少于的家庭中,、两个小区各随机抽取一户,求小区家庭的用水量低于小区的概率.
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【题目】已知函数对一切实数,都有成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,设:当时,不等式恒成立;:当时,是单调函数.如果满足成立的的集合记为,满足成立的的集合记为,求(为全集).
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为菱形,△PAD为正三角形,且E为AD的中点,BE⊥平面PAD.
(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEB;
(Ⅱ)求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知函数,其中.
Ⅰ当时,恒成立,求a的取值范围;
Ⅱ设是定义在上的函数,在内任取个数,,,,,设,令,,如果存在一个常数,使得恒成立,则称函数在区间上的具有性质P.试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.注:
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【题目】(1)已知a,b,N都是正数,a≠1,b≠1,证明对数换底公式:logaN=;
(2)写出对数换底公式的一个性质(不用证明),并举例应用这个性质.
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【题目】某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.
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