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2.数列x1,x2,…,xn,…满足x1=$\frac{1}{3}$,xn+1=${{x}_{n}}^{2}$+xn(n∈N•),则$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$的整数部分是2.

分析 由x1=$\frac{1}{3}$,xn+1=${{x}_{n}}^{2}$+xn(n∈N•),可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=xn+1>1,即数列{xn}单调递增.又x2=$\frac{4}{9}$,x3=$\frac{52}{81}$,x4>1.当n≥4时,0<$1-\frac{1}{{x}_{n}}$<1.由于xn+1=${{x}_{n}}^{2}$+xn(n∈N•),可得$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$,即$\frac{1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}$,利用“裂项求和”可得:$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$,=3-$\frac{1}{{x}_{2014}}$,即可得出.

解答 解:由x1=$\frac{1}{3}$,xn+1=${{x}_{n}}^{2}$+xn(n∈N•),
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=xn+1>1,
∴数列{xn}单调递增,
可得x2=$(\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$,
x3=$\frac{52}{81}$,x4=$\frac{52}{81}×(\frac{52}{81}+1)$>1.
∴当n≥4时,
∴0<$1-\frac{1}{{x}_{n}}$<1.
∵xn+1=${{x}_{n}}^{2}$+xn(n∈N•),
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$,
∴$\frac{1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}$,
∴$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$
=$(\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}})$+$(\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}})$+…+$(\frac{1}{{x}_{2013}}-\frac{1}{{x}_{2014}})$
=$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2014}}$
=3-$\frac{1}{{x}_{2014}}$
=2+$1-\frac{1}{{x}_{2014}}$的整数部分是2.
故答案为:2.

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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