Question

（1）某学生在体育训练时受了伤，医生给他开了一些消炎药，并规定每天早上八时服一片，现知该药片每片含药量为200毫克，他的肾脏每天可从体内滤出这种药的60%，问：经过多少天，该同学所服的第一片药在他体内残留不超过10毫克？（lg2=0.3010）
（2）设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，求函数的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据该药片每片含药量为200毫克，他的肾脏每天可从体内滤出这种药的60%，利用所服的第一片药在他体内残留不超过10毫克，建立方程，即可求得结论；
（2）利用绝对值的几何意义，化简函数，再利用配方法，即可求得结论．

解答：解：（1）设经过x天该同学所服的第一片药在他体内残留不超过10毫克，
依题意得：200（1-60%）^x=10，即0.4x=

1

20

两边取常用对数，得xlg0.4=lg

1

20

，
即xlg

4

10

=lg

1

20

，∴x（2lg2-lg10）=-lg20，∴x（2lg2-1）=-（lg2+1）
∴x=3.3
∴4天后该同学体内药残留不超过10毫克．
（2）当x≥a时，f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
当a＞-

1

2

时，f(x)min=f(a)=a2+1，
当a≤-

1

2

时，f(x)min=f(-

1

2

)=-a+

3

4

．
当x＜a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，
当a＞

1

2

时，f(x)min=f(

1

2

)=a+

3

4

当a≤

1

2

时，f(x)min=f(a)=a2+1．

点评：本题考查函数模型的构建，考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．