【题目】已知函数f(x)=(x2﹣ax﹣a)ex .
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a∈(0,2),对于任意x1 , x2∈[﹣4,0],都有 恒成立,求m的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)=(x+2)(x﹣a)ex,
①若a<﹣2,则f(x)在(﹣∞,a),(﹣2,+∞)上单调递增,在(a,﹣2)单调递减;
②若a=﹣2,则f(x)在R上单调递增;
③若a>﹣2,则f(x)在(﹣∞,﹣2),(a,+∞)上单调递增,在(﹣2,a)单调递减;
(2)解:由(1)知,当a∈(0,2)时,f(x)在(﹣4,﹣2)上单调递增,在(﹣2,0)单调递减,
所以f(x)max=f(﹣2)=(a+4)e﹣2,f(﹣4)=(3a+16)e﹣4>﹣a=f(0),
故|f(x1)﹣f(x2)|max=|f(﹣2)﹣f(0)|=a(e﹣2+1)+4e﹣2,
|f(x1)﹣f(x2)|<4e﹣2+mea恒成立,即a(e﹣2+1)+4e﹣2<4e﹣2+mea恒成立,
即m> (e﹣2+1)恒成立,
令g(x)= ,x∈(0,2),易知g(x)在其定义域上有最大值g(1)= ,
所以m>
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性求出f(x)的最大值,问题转化为m> (e﹣2+1)恒成立,令g(x)= ,x∈(0,2),根据函数的单调性求出m的范围即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=4,点E、F分别为AB和PD的中点.
(1)求证:直线AF∥平面PEC;
(2)求平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值.
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【题目】某市为响应国家节能减排建设的号召,唤起人们从自己身边的小事做起,开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动,其中有两则公益广告: ①80部手机,一年就会增加一吨二氧化氮的排放.
②人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气.
活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果,随机对10﹣60岁的人群抽查了n人,并就两个问题对选取的市民进行提问,其抽样人数频率分布直方图如图所示,宣传效果调查结果如表所示.
宣传效果调查表
广告一 | 广告二 | |||
回答正 | 占本组 | 回答正 | 占本组 | |
[10,20) | 90 | 0.5 | 45 | a |
[20,30) | 225 | 0.75 | k | 0.8 |
[30,40) | b | 0.9 | 252 | 0.6 |
[40,50) | 160 | c | 120 | d |
[50,60] | 10 | e | f | g |
(1)分别写出n,a,b,c,d的值.
(2)若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率,规定正确回答广告一的内容得30元,广告二的内容得60元.组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁,孩子17岁),指定大人回答广告一的内容,孩子回答广告二的内容,求该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望.
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【题目】定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1,且2f′(x)>1,当x∈[﹣ , ]时,不等式f(2cosx)> ﹣2sin2 的解集为( )
A.( , )
B.(﹣ , )
C.(0, )
D.(﹣ , )
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【题目】设f(x)= (a∈R)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.
(1)若对于任意的x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求实数m的取值范围;
(2)设函数g(x)=(x+1)f(x)﹣b(x﹣1)在[1,e]上有且只有一个零点,求实数b取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求面PAD与面PBC所成角的大小.
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