Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex ．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a∈（0，2），对于任意x1 ， x2∈[﹣4，0]，都有 恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，

①若a＜﹣2，则f（x）在（﹣∞，a），（﹣2，+∞）上单调递增，在（a，﹣2）单调递减；

②若a=﹣2，则f（x）在R上单调递增；

③若a＞﹣2，则f（x）在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上单调递增，在（﹣2，a）单调递减；

（2）解：由（1）知，当a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，

所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），

故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，

|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，

即m＞ （e﹣2+1）恒成立，

令g（x）= ，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）= ，

所以m＞

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞ （e﹣2+1）恒成立，令g（x）= ，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．