(如图1)在平面四边形中,
为
中点,
,
,且
,现沿
折起使
,得到立体图形(如图2),又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使直线与直线
所成角为
?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
(1);(2)存在,
.
解析试题分析:本题考查空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角、直线与平面垂直和平行等基础知识,考查用空间向量解决立体几何中的问题,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,先用三角形中位线,证,所以利用线面平行的判定定理,得出
平面
,同理:
平面
,把
与
的夹角转化为
与
的夹角,利用面面平行,转化
到平面
的距离为
到平面
的距离,易得出距离为1,最后求转化后的
;第二问,由已知建立空间直角坐标系,写出各点坐标,用反证法,先假设存在,假设
,求出向量
和
坐标,用假设成立的角度,列出夹角公式,解出
,如果
有解即存在,否则不存在,并可以求出
的坐标及
.
试题解析:(1)因为分别为
的中点,所以
.又
平面
,
平面
,所以
平面
,同理:
平面
.
试题解析:(1)∵,∴
平面
.同理:
,∴
平面
,因为
分别为
的中点,所以
平面
.
同理:平面
,且
,
∴与
的夹角等于
与
的夹角(设为
)
易求. 4分
∵平面平面
,∴
到平面
的距离即
到平面
的距离,过
作
的垂线,垂足为
,则
为
到平面
的距离.
, 7分
(2)假设在线段存在一点
,使直线
.取
的中点
,连
,设
,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
三棱锥P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC。
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为
,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱锥中,侧面
与底面
垂直,
分别是
的中点,
,
,
.
(1)若点在线段
上,问:无论
在
的何处,是否都有
?请证明你的结论;
(2)求二面角的平面角的余弦.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四边形ABCD为平行四边形,四边形ADEF是正方形,且BD⊥平面CDE,H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)求证:面ADEF⊥面ABCD.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD^底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF^PB交PB于点F,
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB^平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥中,
是正三角形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
.
(Ⅰ)若点是
的中点,求证:
平面
;
(II)试问点在线段
上什么位置时,二面角
的余弦值为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥的底面是直角梯形,
,
,
和
是两个边长为
的正三角形,
,
为
的中点,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正弦值.
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