Question

已知两定点A（2，5），B（-2，1），M和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=2

2

，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上；
（Ⅰ）求M，N与C点的坐标；
（Ⅱ）求C点到直线l的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 用点斜式求出直线l 的方程，设M（a，a），则N（a+2，a+2），设C（0，b），根据点共线得到①和②，
解得 a 和 b  的值，即得M，N与C点的坐标．
（Ⅱ）由两点式求得AB的方程，由点到直线的距离公式求得C点到直线l的距离．

解答：解：（Ⅰ） 直线l的斜率即AB的斜率，为

5-1

2+2

=1，故过原点的直线l 的方程为  y=x．
设M（a，a），则N（a+2，a+2），设C（0，b），由A、C、M三点共线可得

5-b

2-0

=

5-a

2-a

  ①．
由B、C、N 三点共线可得 

1-b

-2-0

=

1-(a+2)

-2-(a+2)

   ②． 
由①②解得 a=-1，b=1，∴M（-1，-1），N（1，1），C （0，1）．
（Ⅱ）由两点式求得AB的方程为 

y-1

5-1

=

x+2

2+2

，即 x-y+3=0，故C点到直线l的距离为 

|0-1+3|

2

=

2

．

点评：本题考查用点斜式、两点式求直线方程，三点共线的性质，点到直线的距离公式，求出点C的坐标，是解题的关键．