Question

2．在等比数列{a_n}中，a₅•a₁₃=6，a₄+a₁₄=5，则$\frac{{a}_{80}}{{a}_{90}}$等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$
• B． 3或-2
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由题意a₄，a₁₄是一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，从而得a₄=2，a₁₄=3或a₄=3，a₁₄=2，又由$\frac{{a}_{80}}{{a}_{90}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{79}}{{a}_{1}{q}^{89}}$=$\frac{1}{{q}^{10}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}}{{a}_{1}{q}^{13}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{14}}$，能求出结果．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，a₅•a₁₃=6，a₄+a₁₄=5，
∴a₄•a₁₄=6，
∴a₄，a₁₄是一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，
解方程x²-5x+6=0，得a₄=2，a₁₄=3或a₄=3，a₁₄=2，
∴$\frac{{a}_{80}}{{a}_{90}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{79}}{{a}_{1}{q}^{89}}$=$\frac{1}{{q}^{10}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}}{{a}_{1}{q}^{13}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{14}}$，
∴当a₄=2，a₁₄=3时，$\frac{{a}_{80}}{{a}_{90}}$=$\frac{2}{3}$，
当a₄=3，a₁₄=2时，$\frac{{a}_{80}}{{a}_{90}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查等比数列中两项比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．