Question

19．已知圆O的半径为定长为r，A是圆O所在平面上的一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线L和直线OP相交于点M，当点P在圆上运动时，点M的轨迹可能是①点；②直线；③圆；④椭圆；⑤双曲线；⑥抛物线．其中正确的是（　　）

• A． ④⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②③④⑤
• D． ①②③④⑤⑥

Answer 1

分析 由已知结合线段的垂直平分线的性质，分类讨论可得点M的轨迹．

解答 解：∵A为⊙O内一定点，P为⊙O上一动点，
线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，
∴|MA|=|MP|，|MA|+|MO|=|MP|+|MO|=|OP|=r，
即动点M到两定点O、A的距离和为定值，
根据椭圆的定义，可知点M的轨迹是：以O，A为焦点的椭圆．
A为圆心时，点M的轨迹是圆；
∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点
线段AP的垂直平分线交直线OP于点M，
∴|MA|=|MP|，|MA|-|MO|=|MP|-|MO|=|OP|=r，
即动点M到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点M的轨迹是：以O，A为焦点，OA为实轴长的双曲线
A为圆上的点时，点M的轨迹是圆心O．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆、双曲线的定义及方程，考查了数学转化思想方法，是中档题．