Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^﹡，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡.cn=

1

S1+1

+

1

S2+2

+…+

1

Sn+n

（1）求a_n，b_n，c_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2n²+n可求得a_n；利用等比数列的通项公式可求得b_n；利用错位相减法与累加法可求得c_n；
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答：（1）由S_n=2n²+n，得
当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^﹡．
又数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡．
∴数列{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n=2^n-1，n∈N^﹡
∴

1

Sn+n

=

1

2(n2+n)

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴c_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

•

n

n+1

=

n

2n+2

．
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^﹡
∴T_n=3+7×2+11×2²+…+（4n-1）•2^n-1，①
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）•2^n-1+（4n-1）•2ⁿ，②
∴②-①得：T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-5）2ⁿ+5，
∴T_n=（4n-5）2ⁿ+5，n∈N^﹡．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与等差数列的概念及错位相减法的综合应用，考查推理与运算能力，属于中档题．