Question

20．若函数f（x）=ax²+2x-$\frac{4}{3}$lnx在x=1处取得极值．则函数f（x）的极大值为$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$ln2．

Answer 1

分析 先根据f′（1）=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值．

解答 解：函数f（x）=ax²+2x-$\frac{4}{3}$lnx在x=1处取得极值，（x＞0）
则f′（x）=2ax+2-$\frac{4}{3x}$，f′（1）=2a+2-$\frac{4}{3}$=0，解得：a=-$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{4}{3}$lnx，f′（x）=-$\frac{2}{3}$x+2-$\frac{4}{3x}$=$\frac{-2（x-1）（x-2）}{3x}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2或0＜x＜1，
∴函数f（x）在（0，1），（2，+∞）递减，在（1，2）递增，
∴f（x）_极大值=f（2）=$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$ln 2，
故答案为：$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．