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1.已知函数f(x)=|x-3|-|x+1|,命题p:关于x的不等式f(x)>a对x∈R恒成立;命题q:函数y=x2-ax+4在区间[5,+∞)上单调递增.
(1)解不等式f(x)≤0;
(2)若命题“p或q”是真命题,求实数a的取值范围.

分析 (1)不等式等价为|x-3|≤|x+1|,两边平方得(x-3)2≤(x+1)2,解出不等式即可;
(2)运用二次函数的性质和分段函数的最值求出相应a的范围,再取并集即可.

解答 解:(1)由f(x)=|x-3|-|x+1|≤0得,
|x-3|≤|x+1|,两边平方得,
(x-3)2≤(x+1)2,解得x≥1,
所以,原不等式的解集为[1,+∞);
(2)若命题p为真,则f(x)min>a,
而f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-4,x≥3}\\{2-2x,-1≤x<3}\\{4,x<-1}\end{array}\right.$,所以f(x)min=-4,
因此,a<-4;--------------①
若命题q为真,则二次函数图象的对称轴x=$\frac{a}{2}$≤5,
解得,a≤10,--------------②
根据题意,命题“p或q”为真,则只需取①②的并集,
即a∈(-∞,10].

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法,二次函数的图象和性质,以及复合命题真假的判断,属于中档题.

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