Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，

3

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF₂B的面积为

12 2

7

，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，

3

2

）到两焦点的距离求得a，进而根据b=

a2-c2

求得b，得到椭圆的方程．
（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF₂B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁•x₂，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=

5

2

+

3

2

=4．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：
A(-1，-

3

2

)，B(-1，

3

2

)，S△AF2B=

1

2

•|AB|•|F1F2|=

1

2

×3×2=3，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，
又|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+k2

•

64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2

即|AB|=

1+k2

•

12 k2+1

3+4k2

=

12(k2+1)

3+4k2

，
又圆F₂的半径r=

|k×1-0+k|

1+k2

=

2|k|

1+k2

，
所以S△AF2B=

1

2

|AB|r=

1

2

×

12(k2+1)

3+4k2

•

2|k|

1+k2

=

12|k| 1+k2

3+4k2

=

12 2

7

，
化简，得17k⁴+k²-18=0，
即（k²-1）（17k²+18）=0，解得k=±1
所以，r=

2|k|

1+k2

=

2

，
故圆F₂的方程为：（x-1）²+y²=2．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．