Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=3。

（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱锥M-ABD的体积。

Answer 1

解：（1）证明：因为O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点
又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB
因为OM平面ABD，AB平面ABD，
所以OM∥平面ABD。
（2）证明：由题意，OM=OD=3
因为
所以∠DOM=90°，OD⊥OM
又因为菱形ABCD，
所以OD⊥AC
因为OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因为OD平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO。
（3）三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积
由（2）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3为三棱锥D-ABM的高
△ABM的面积为

所求体积等于。