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    已知与抛物线x2=4y有相同的焦点的椭圆E：
    y
    2
     
    a
    2
     
    +
    x
    2
     
    b
    2
     
    =1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，-2），过（0，1）的直线与椭圆E交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点，过C、D分别作抛物线的两切线l1、l2．
    （1）求椭圆E的方程并证明l1⊥l2；
    （2）求△AMN面积的最大值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的综合
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由已知条件推导出a=2，c=1，由此能求椭圆的标准方程，设直线l：y=kx+1，联立方程组得x2-4kx-4=0，由此能求出椭圆E的方程并证明l1⊥l2．
    （2）设直线l：y=kx+1，与
    x2
    3
    +
    y2
    4
    =1    联立，得（3k2+4）x2+6kx-9=0，利用韦达定理和导数特物定性质，由此能求出△AMN面积的最大值．
    解答： 解：（1）∵与抛物线x2=4y有相同的焦点的椭圆
    E：
    y
    2
     
    a
    2
     
    +
    x
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，-2），
    ∴a=2，c=1，∴b=
    		22-12
    =
    		3
    ，
    ∴椭圆的标准方程为
    x2
    3
    +
    y2
    4
    =1    ，
    由题意知直线的斜率存在，设直线l：y=kx+1，
    联立方程组
    x2=4y
    y=kx+1
    ，得x2-4kx-4=0，
    设C（x1，y1），D（x2，y2），
    则kl1=
    1
    2
    x1    ，kl2=
    1
    2
    x2    ，
    ∴kl1•kl2=
    1
    4
    x1x2    =
    1
    4
    ×(-4)    =-1，
    ∴l1⊥l2．
    （2）设直线l：y=kx+1，与
    x2
    3
    +
    y2
    4
    =1    联立并消去y，得：
    （3k2+4）x2+6kx-9=0，
    设M（x3，y3），N（x4，y4），则
    x3+x4=-
    6k
    3k2+4
    ，x3x4=
    -9
    3k2+4
    ，
    ∴|x3-x4|=
    12
    		k2+1
    3k2+4
    ，
    △AMN的面积为
    1
    2
    |x3-x4|=
    6
    		k2+1
    3k2+4
    ，
    令
    		k2+1
    =t    ，t≥1，
    则S（t）=
    6t
    3t2+1
    =
    6
    3t+
    1
    t
    ，t≥1，
    记f（t）=3t+
    1
    t
    ，则f′(t)=
    3t2-1
    t2
    ，
    当t≥1时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，
    ∴t=1时，f（t）取最小值，S（t）取最大值，
    此时k=0，即MN与x轴平行，△AMN面积的最大值为
    3
    2
    ．
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意掌握直线与圆锥曲线的位置关系的应用，
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F为抛物线y2=2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|
    FA
    |+|
    FB
    |+|
    FC
    |的值为（　　）
    A、1B、2C、3D、4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    抛物线C1：y2=4x的焦点与椭圆C2：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个焦点相同．设椭圆的右顶点为A，C1，C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为
    		6
    3
    a    ．
    （1）求椭圆C2的标准方程；
    （2）过A点作直线l交C1于C，D两点，连接OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2．问是否存在上述直线l使得S2=3S1，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设非零平面向量
    m
    ，
    n
    ，θ=（
    m
    ，
    n
    ），规定
    m
    ?
    n
    =|
    m
    |×|
    n
    |sinθ．F1，F2是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点，点M，N分别是其上的顶点，右顶点，且
    OM
    ?
    ON
    =6
    		2
    ，离心率e=
    1
    3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点F2的直线交椭圆C于点A，B，求：
    OA
    ?
    OB
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    1+lnx
    x
    ．
    （Ⅰ）若函数在区间（a，a+
    1
    2
     ）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
    （Ⅱ）求证：当x≥1时，不等式f（x）＞
    2sinx
    x+1
    恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，A、B是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两个顶点，它的短轴长为1，其一个焦点与短轴的两个端点构成正三角形．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）若直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于R、S两点．求四边形ARBS面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设计一个算法，求1+2+4+…249的值，并画出程序框图．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，点A，B分别是椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2=9经过椭圆E的左焦点F1．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．
    （i）求
    F1Q
    •
    BP
    的取值范围；
    （ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若在区域
    x+y-
    		2
    ≤0
    x≥0
    y≥0
    内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为
     
    ．

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