Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），-1）（其中$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{3}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，且f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$．
（1）求f（$\frac{3}{4}$π）的值；
（2）若f（$\frac{a}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且$α，β∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式，倍角公式，辅助角公式，化简函数的解析式，结合f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$，求出ω=1，代入可得f（$\frac{3}{4}$π）的值；
（2）若f（$\frac{a}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且$α，β∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，可得α，β的余弦值，代入差角的余弦公式，可得答案．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），-1）=（$\sqrt{2}$（sinωx+cosωx），-1）
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cosωx（sinωx+cosωx）-1=2sinωxcosωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
∵f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$．
∴2ω×$\frac{5π}{8}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）．
又由$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{3}{2}$，
∴ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（$\frac{3}{4}$π）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3}{4}$π+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=-1，
（2）∵f（$\frac{a}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinα=$\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{2}{3}$，
∵$α，β∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{10}+2}{9}$．

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，数量积公式，倍角公式，辅助角公式，两角差的余弦公式，难度中档．