【题目】在无穷数列中, ,对于任意,都有, .设,记使得成立的n的最大值为.
(Ⅰ)设数列{an}为1,3,5,7,…,写出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}为等比数列,且a2=2,求b1+b2+b3+…+b50的值;
(Ⅲ)若{bn}为等差数列,求出所有可能的数列{an}.
【答案】(Ⅰ)b1=1, b2=1, b3=2;(Ⅱ)243;(Ⅲ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合数列的定义可得b1=1, b2=1, b3=2.
(Ⅱ)由题意可得,则b1=1,b2=b3=2,b4=b5= b6= b7=3,b8=b9b15=4,b16=b17b31=5,b32=b33b50= 6.故b1+ b2+b3b50=243.
(Ⅲ)由题意可知.使得成立的n的最大值为,使得成立的n的最大值为,则.结合题中的条件分析可得,故.
试题解析:
(Ⅰ)b1=1, b2=1, b3=2.
(Ⅱ)因为为等比数列, a1=1,a2=2,
所以,
因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,
所以b1=1,b2=b3=2,b4=b5= b6= b7=3,b8=b9b15=4,b16=b17b31=5,b32=b33b50= 6.故b1+ b2+b3b50=243.所以b1+ b2+b3+…b50=243.
(Ⅲ)由题意,得,
结合条件,得.
又因为使得成立的n的最大值为,使得成立的n的最大值为,所以, .设,则.
假设,即,则当时, ;当时, .
所以, .
因为为等差数列,所以公差,所以,其中.
这与()矛盾,所以.
又因为,所以,
由为等差数列,得,其中.
因为使得,由,
得.
(1)本题解题的关键是抓住新定义中使得成立的n的最大值为,可将问题迎刃而解.
(2)对于这类问题,我们首先应弄清问题的本质,然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.
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【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°,AC=2a,E,F分别为AC,BC的中点,沿EF将△CEF折起,得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE
(1)求证:AB⊥平面AEC′;
(2)当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时,
①若G为BC′中点,求异面直线GF与AC′所成角;
②在C′﹣ABFE中AE交BF于C,求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值.
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【题目】先阅读下列结论的证法,再解决后面的问题:
已知 ,求证: .
【证明】构造函数 ,则 ,
因为对一切 ,恒有 .
所以 ,从而得 .
(1)若 ,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.
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【题目】为了调查喜欢旅游是否与性别有关,调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题,在火车站分别随机调研了 名女性或 名男性,根据调研结果得到如图所示的等高条形图.
(1)完成下列 列联表:
喜欢旅游 | 不喜欢旅游 | 估计 | |
女性 | |||
男性 | |||
合计 |
(2)能否在犯错误概率不超过 的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.
附:
/td> |
参考公式:
,其中
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【题目】假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
已知, .
,
(1)求, ;
(2) 与具有线性相关关系,求出线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
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【题目】已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由直线的斜率为,可得所求直线的斜率为,代入点斜式方程,可得答案;(2)直线与两坐标轴的交点分别为,则所围成的三角形的面积为,根据直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为大于,构造不等式,解得答案.
试题解析:(1)与直线l垂直的直线的斜率为-2,
因为点(2,3)在该直线上,所以所求直线方程为y-3=-2(x-2),
故所求的直线方程为2x+y-7=0.
(2) 直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),
则所围成的三角形的面积为×|-2m+2|×|m-1|.
由题意可知×|-2m+2|×|m-1|>4,化简得(m-1)2>4,
解得m>3或m<-1,
所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
【方法点睛】本题主要考查直线的方程,两条直线平行与斜率的关系,属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一,这类问题以简单题为主,主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系:在斜率存在的前提下,(1) ;(2),这类问题尽管简单却容易出错,特别是容易遗忘斜率不存在的情况,这一点一定不能掉以轻心.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】在平面直角坐标系中,已知经过原点O的直线与圆交于两点。
(1)若直线与圆相切,切点为B,求直线的方程;
(2)若,求直线的方程;
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【题目】口袋中装有2个白球和n(n≥2,n N*)个红球.每次从袋中摸出2个球(每次摸球后把这2个球放回口袋中),若摸出的2个球颜色相同则为中奖,否则为不中奖.
(I)用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率;
(Ⅱ)若n=3,求3次摸球中恰有1次中奖的概率;
(III)记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f(p),当f(p)取得最大值时,求n的值.
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