Question

设实数x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0 y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求

1

a

+

2

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

a

b

x+

z

b

的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=10，
即2a+3b-5=0，
即（a，b）在直线2x+3y-5=0上，
a²+b²的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，
则圆心到直线的距离d=

|-5|

22+32

=

5

13

，
则a²+b²的最小值为d²=

25

13

，
故答案为：

25

13

．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线距离公式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．