Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2，如图：
(1)求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
(2)求(1)中两个平行平面间的距离；
(3)求点B₁到平面A₁BC₁的距离.

Answer 1

（1）同解析 (2) 两平行平面间的距离为. (3) B₁到平面A₁BC₁的距离等于.

.(1)证明：由于BC₁∥AD₁，则BC₁∥平面ACD₁
同理，A₁B∥平面ACD₁，则平面A₁BC₁∥平面ACD₁
(2)解：设两平行平面A₁BC₁与ACD₁间的距离为d，则d等于D₁到平面A₁BC₁的距离.易求A₁C₁=5，A₁B=2，BC₁=，则cosA₁BC₁=,则sinA₁BC₁=,则S=,由于，则S·d=·BB₁,代入求得d=,即两平行平面间的距离为.
(3)解：由于线段B₁D₁被平面A₁BC₁所平分，则B₁、D₁到平面A₁BC₁的距离相等，则由(2)知点B₁到平面A₁BC₁的距离等于.