Question

函数是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．

Answer 1

解：（ I）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，f（-x）=-f（x）…（2分）
故，
所以b=0，…（4分）
所以 ．…（5分）
（ II） 设0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
则△y=f（x₂）-f（x₁）==…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而 ，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）
分析：（I）已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，根据奇函数的定义f（-x）=-f（x），求出b的值，从而求出函数f（x）的解析式；
（II）可以 设0＜x₁＜x₂＜1，根据定义法判断f（x₂）-f（x₁）与0的大小关系，从而进行证明；
点评：此题主要考查奇函数的性质及其应用，利用定义法求证函数的单调性，解题的关键是会化简，此题是一道基础题；