Question

已知函数, 在处取得极小值2．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设函数， 若对于任意，总存在， 使得， 求实数 的取值范围．

Answer 1

（1）函数的解析式为 ；（2）时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 ；（3）a的取值范围是(-∞,-1］∪［ 3,+∞).

试题分析：（1）根据函数在极值处导函数为0，极小值为2联立方程组即可求得m，n；（2）由（1）求得函数解析式，对函数求导且让导函数为0，即可求得极大值和极小值；（3）依题意只需即可，当时，函数有最小值-2 ，即对任意总存在，使得的最小值不大于-2 ；而，分、、三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵函数在处取得极小值2，∴         1分
又     ∴    
由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意       ∴，代入①式得m=4
∴                                      2分
经检验，当时，函数在处取得极小值2 
∴函数的解析式为                          4分
（2）∵函数的定义域为且由（1）有
令，解得：
∴当x变化时，的变化情况如下表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
	—	0	+	0	—
	减	极小值-2	增	极大值2	减

∴时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2    8分
（3）依题意只需即可．
∵函数在时，；在时，且
∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：

∴当时，函数有最小值-2                          10分
又对任意总存在，使得 ∴当时，的最小值不大于-2
又
①当时，的最小值为   ∴得；
②当时，的最小值为  ∴得；
③当时，的最小值为  ∴得或
又∵   ∴此时a不存在
综上所述，a的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞)．                   13分