Question

20．设f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若对任意的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得x＞-1，f′（x）=ln（x+1）+1，x∈（-1，$\frac{1}{e}$-1）时，f′（x）＜0；当x∈（$\frac{1}{e}-1$，+∞）时，f′（x）＞0．由此求出x=$\frac{1}{e}$-1时，[f（x）]_min=f（$\frac{1}{e}-1$），由此能求出结果．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a令g′（x）=0，得x=e^a-1-1，由此根据a≤1，a＞1进行分类讨论，利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（x+1）ln（x+1），
∴x+1＞0，解得x＞-1，
f′（x）=ln（x+1）+1，
令f′（x）=0，得x+1=$\frac{1}{e}$，即x=$\frac{1}{e}-1$，
当x∈（-1，$\frac{1}{e}$-1）时，f′（x）＜0；当x∈（$\frac{1}{e}-1$，+∞）时，f′（x）＞0．
∴x=$\frac{1}{e}$-1时，[f（x）]_min=f（$\frac{1}{e}-1$）=$\frac{1}{e}ln（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是减函数，
又g（0）=0，所以对0＜x＜e^a-1-1，都有g（x）＜g（0），
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．