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    函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）
    ①f（x）=x2（x≥0）；    ②f（x）=ex-1（x∈R）；
    ③f(x)=
    4x
    x2+1
    (x≥0)    ；  ④f(x)=loga(ax-
    1
    8
    )(a＞0，a≠1)    ．
    分析：由新概念“倍值区间”的定义可以看出：若区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”，除了a，b满足定义中的①②两个条件外，a，b必是方程f（x）=2x的两个不同解．
    ①易知：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，经验证区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间；
    ②易知函数单调递增，令ex-1=2x，再令g（x）=ex-2x-1，求导得g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，又g（2）=e22-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以ex-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb-2b-=0，满足题意；
    ③由
    4x
    x2+1
    =2x(x≥0)⇒x    =0或1，并且函数f(x)=
    4x
    x2+1
    在[0，1]上单调递增，满足题意；
    ④首先ax＞
    1
    8
    ，令loga(ax-
    1
    8
    )=2x(不妨取a＞1)，则a2x-ax+
    1
    8
    =0，解得ax=
    2±
    		2
    4
    ＞
    1
    8
    ，则在a＞1时，区间[
    2-
    		2
    4
    ，
    2+
    		2
    4
    ]    满足题意．
    解答：解：①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，f（x）在区间[0，2]上的值域为[0，4]．
    由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间．
    ②由于函数y=ex在R上单调递增，所以f（x）=ex-1在R上单调递增．
    令ex-1=2x，再令g（x）=ex-2x-1，求导得g′（x）=ex-2，令ex-2=0，解得x=ln2．
    经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，
    又g（2）=e2-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以ex-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb-2b-1=0．
    可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=ex-1的倍值区间．
    ③由
    4x
    x2+1
    =2x    解得x=0或1；又当0≤x≤1时，f′(x)=
    4(1-x)(1+x)
    (x2+1)2
    ≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间．
    ④要使函数f（x）有意义，则满足ax＞
    1
    8
    ，取a＞1，令loga(ax-
    1
    8
    )=2x    ，则a2x-ax+
    1
    8
    =0    ，解得ax=
    2±
    		2
    4
    ＞
    1
    8
    ．
    由于函数y=logax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间[
    2-
    		2
    4
    ，
    2+
    		2
    4
    ]    上单调递增，所以区间[
    2-
    		2
    4
    ，
    2+
    		2
    4
    ]    是函数f（x）的倍值区间．
    综上可知①②③④皆正确．
    故选A．
    点评：考查新定义，以及二次函数、指数函数、对数函数、分式函数等的单调性与值域问题．另外还考查了函数的零点的判断及数形结合的思想方法．
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    ．

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