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    如图，F1是双曲线数学公式的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF1的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是________．


    分析：设B是右准线与x轴的交点，先将几何条件“线段PF1的中垂线过点A”，转化为几何条件“|AF1|=|AP|”，再利用几何条件“|AP|≥|AB|”的不等关系|AF1|≥|AB|，最后将不等关系翻译为离心率不等式即可解得离心率的取值范围
    解答：设B是右准线与x轴的交点
    ∵线段PF1的中垂线过点A，∴|AF1|=|AP|≥|AB|
    ∵|AF1|=c-，|AB|=
    ∴c-≥，即 c2≥3a2，e2≥3，e≥
    ∴双曲线的离心率的取值范围是[，+∞）
    故答案为
    点评：本题考察了双曲线的定义和几何性质，双曲线准线的意义和离心率的范围的求法，找到恰当的不等关系是解决本题的关键
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网我们定义双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”，如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点，直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点．
    （1）求证：PF1⊥PF2；
    （2）求证：PF1平分∠APO；
    （3）你能否在未证明（1）下，直接证明（2）？请写下你的理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，P是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，xy≠0)    上的动点，F1、F2是双曲线的左右焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且F2M⊥MP．某同学用以下方法研究|OM|：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得|OM|=
    1
    2
    |NF1|，…，|OM|=a    ．类似地：P是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0，b2+c2=a2，xy≠0)    上的动点，F1、F2是椭圆的左右焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且F2M⊥MP，则|OM|的取值范围是
    （0，c）
    （0，c）
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•九江二模）如图，F1是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF1的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是
    [
    		3
    ，+∞)
    [
    		3
    ，+∞)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2010年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图，F1是双曲线的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF1的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是    ．

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