Question

下面给出四个命题：
①函数f(x)=

x

-(

1

4

)x的零点在区间(

1

4

，

1

3

)内；
②若函数f（x）满足f（1）=1，f（x+1）=2f（x），则f（1）+f（2）+…+f（10）=1023；
③“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数”；
④“若a=-1，则函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题．
其中所有正确的命题序号是

②

．

Answer 1

分析：根据零点存在定理，可判断①；根据已知结合等比数列前n项和公式，可判断②；根据逆否命题的定义，写出原命题的逆否命题，可判断③；根据四种命题的关系，判断原命题的逆命题的真假，可判断④．

解答：解：①函数f(x)=

x

-(

1

4

)x在定义域（0，+∞）为连续的增函数，
∵f(

1

4

)=

1

2

-(

1

4

)

1

4

=

1- 2

2

＜0，f(

1

3

)=

3

3

-(

1

4

)

1

3

＜0，
故函数f(x)=

x

-(

1

4

)x在区间(

1

4

，

1

3

)内不存在零点，故①错误；
②∵f（1）=1，f（x+1）=2f（x），
则f（1），f（2），…，f（10）构成一个以1为首项，以2为公比的等比数列，
则f（1）+f（2）+…+f（10）=2¹⁰-1=1023，故②正确；
③“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是：“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”，故③错误．
④“若a=-1，则函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点”的逆命题为：“若函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点，则a=-1”，
显然a=0时，f（x）=ax²+2x-1=2x-1也满足只有一个零点，故④错误；
故答案为：②

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了零点存在定理，四种命题，数列求和等知识点，是函数较为综合的应用，难度中档．