Question

（选做题）在极坐标系中，曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：θ=

π

4

，若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点则AB=

2

．

Answer 1

分析：分别将曲线C₁与曲线C₂的极坐标方程化成普通方程，得到曲线C₁是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，而曲线C₂是经过原点的直线y=x．由直线与圆相交，利用点到直线的距离公式并结合垂径定理，可以算出AB的长．

解答：解：对于曲线C₁：ρ=2cosθ，两边都乘以ρ得：ρ²=2ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，且ρcosθ=x
∴曲线C的普通方程是x²+y²-2x=0，表示以（1，0）为圆心、半径为1的圆；
对于曲线C₂：θ=

π

4

，可得它是经过原点且倾斜角为

π

4

的直线，
∴曲线C₂的普通方程为y=x，即x-y=0
因此点（1，0）到直线x-y=0的距离为：d=

|1-0|

2

=

2

2

设AB长为m，则有（

1

2

m）²+d²=r²，即

1

4

m²+

1

2

=1，解之得m=

2

（舍负）
故答案为：

2

点评：本题以极坐标的形式给出圆和直线的方程，叫我们求直线被圆截得的弦长，着重考查了极坐标与直角坐标的互化和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．