Question

已知向已知角A、B、C为△ABC的内角，其对边分别为a、b、c，若向量

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

，△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：根据平面向量数量积的运算法则化简

m

•

n

=

1

2

，然后利用同角三角函数间的基本关系得到cos

A

2

的值，根据A的范围得到

A

2

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，让其等于

3

，即可求出ab的值，然后利用余弦定理表示出一个关系式，把ab的值代入即可求出b+c的值．

解答：解：∵

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

• 

n

=

1

2

，
-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即cos

A

2

=

1

2

，
又0＜A＜π，所以0＜

A

2

＜

π

2

，则

A

2

=

π

3

，
∴A=

2π

3

，
∵S=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

2π

3

=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=12，
∴（b+c）²=16，故b+c=4．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及平面向量的数量积运算法则化简求值，是一道综合题．