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设P是直线y=x+4上一点,过点P的椭圆的焦点为F1(2,0),F2(-2,0),则当椭圆长轴最短时,椭圆的方程为
x2
10
+
y2
6
=1
分析:设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,依题意可得c的值,进而求得b与a的关系,将直线方程代入椭圆方程得到一个二次方程.因直线与椭圆有交点,可知△≥0进而求出a的取值范围,进而求出a的最小值,求出此时的椭圆方程.
解答:解:设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
∵c=2,∴b2=a2-c2=a2-4
将直线方程y=x+4代入椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a2-4)x2+a2(x2+8x+16)=a2(a2-4)
即(2a2-4)x2+8a2x+20a2-a4=0
∵直线与椭圆有公共点
∴△=(8a22-4(2a2-4)(20a2-a4
=4a2[16a2-(40a2-2a4-80-4a2)]
=4a2(2a4-28a2+80)
=8a2(a2-10)(a2-4)≥0
∵a2>c2=4,∴a2≥10,当a2=10时,b2=a2-4=6
∴长轴最短的椭圆方程为
x2
10
+
y2
6
=1
故答案为:
x2
10
+
y2
6
=1
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程及椭圆与直线的问题.用方程解的情况来判断,从方程角度看,主要是一元二次方程根的判别式△≥0.
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