Question

设函数g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=

g(x)+x+4，x＜g(x) g(x)-x，x≥g(x)

，则f（x）的值域是（　　）

• A、[-

  9

  4

  ，0]∪（1，+∞）
• B、[0，+∞）
• C、[

  9

  4

  ，+∞）
• D、[-

  9

  4

  ，0]∪（2，+∞）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：当x＜g（x）时，x＞2 或x＜-1，f（x）=g（x）+x+4=x²-2+x+4=x²+x+2=（x+0.5）²+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，-1≤x≤2，f（x）=g（x）-x=x²-2-x=（x-0.5）²-2.25，其值域为：[-2.25，0]．由此能得到函数值域．

解答：解：当x＜g（x），即x＜x²-2，（x-2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜-1，
f（x）=g（x）+x+4=x²-2+x+4=x²+x+2=（x+0.5）²+1.75，
∴其最小值为f（-1）=2，其最大值为+∞，
因此这个区间的值域为：（2，+∞）．
当x≥g（x）时，-1≤x≤2，
f（x）=g（x）-x=x²-2-x=（x-0.5）²-2.25
其最小值为f（0.5）=-2.25，其最大值为f（2）=0
因此这区间的值域为：[-2.25，0]．
综合得：函数值域为：[-2.25，0]U（2，+∞），
故选D．

点评：本题考查f（x）的值域的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．