Question

命题p：方程x²+y²-4x+2ay+2a²-2a+1=0表示圆，
命题q：?m∈[0，3]，?x∈R使不等式x²-2ax+7≥

2m+8

成立，
如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q成立的等价条件，利用“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，确定实数a的取值范围．

解答：命题p为必修2课本144页8题：
解：命题p为真命题时：x²+y²-4x+2ay+2a²-2a+1=0经配方得：（x-2）²+（y+a）²=-a²+2a+3r²=-a²+2a+3＞0，
解得-1＜a＜3．
命题p为假命题时a≤-1或a≥3．
命题q为真时：m∈[0，3]则

2m+8

∈[3，4]，
对于?m∈[0，3]，使不等式x2-2ax+7≥

2m+8

成立，
则?x∈R，x²-2ax+7≥3恒成立，
即x²-2ax+4≥0恒成立，
∴△=（2a）²-16≤0，
解得-2≤a≤2．
命题q为假时a＜-2或a＞2．
若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时：

-1＜a＜3 a＜-2或a＞2

?2＜a＜3
当命题p为假，命题q为真时：

-2≤a≤2 a≤-1或a≥3

?-2≤a≤-1
综上可知：a∈[-2，-1]∪（2，3）．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．