Question

设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：先确定m，n的范围，再得出m=2，n=6时，取最小值即可．
解答：解：设y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足或
可行域如图或
∴当且仅当m=2，n=6时，
又=，∴的最小值为=-3³=-
故答案为：-
点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．