Question

【题目】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．

（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AD的中点I，连接FI，

∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，

∵G，I是中点，

∴GI∥BD，GI= BD．

∵O是正方形ABCD的中心，

∴OB= BD．

∴EF∥GI，EF=GI，

∴四边形EFIG是平行四边形，

∴EG∥FI，

∵EG平面ADF，FI平面ADF，

∴EG∥平面ADF

（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣ ，0），C（ ，0，0），E（0，﹣ ，2），

F（0，0，2），

设平面CEF的法向量为 =（x，y，z），则 ，取 =（ ，0，1）

∵OC⊥平面OEF，

∴平面OEF的法向量为 =（1，0，0），

∵|cos＜ ， ＞|=

∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为 =

（3）解：AH= HF，∴ = =（ ，0， ）．

设H（a，b，c），则 =（a+ ，b，c）=（ ，0， ）．

∴a=﹣ ，b=0，c= ，

∴ =（﹣ ， ， ），

∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜ ， ＞|= = ．

【解析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值．