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若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为
2
2
,且OA⊥OB,求椭圆的方程.
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(
x1+x2
2
y1+y2
2
).
∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.
由x+y=1,ax2+by2=1,
x1+x2
2
=
b
a+b
y1+y2
2
=1-
x1+x2
2
=
a
a+b

∴M(
b
a+b
a
a+b
).
∵kOM=
2
2
,∴b=
2
a.①
∵OA⊥OB,∴
y1
x1
y2
x2
=-1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=
b-1
a+b
,y1y2=(1-x1)(1-x2),
∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2
=1-
2b
a+b
+
b-1
a+b
=
a-1
a+b

b-1
a+b
+
a-1
a+b
=0.
∴a+b=2.②
由①②得a=2(
2
-1),b=2
2
2
-1).
∴所求方程为2(
2
-1)x2+2
2
2
-1)y2=1.
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科目:高中数学 来源: 题型:

若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为
2
2
,且OA⊥OB,求椭圆的方程.

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2
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2
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2
2
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