【题目】已知数列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若,且S2019=2019,求a;
(2)是否存在实数k,使数列{an}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求Sn.
【答案】(1) a=1;(2)存在满足要求的实数k有且仅有一个;(3) Sn=
【解析】
(1)由题意求得首项为1,公差d=a-1,结合等差数列前n项和公式列方程可得a;
(2)假设存在满足题意的实数k,分类讨论可得k;
(3)k=,an+1=(an+an+2),an+2+an+1=(an+1+an),an+3+an+2=(an+2+an+1)=an+1+an,结合题意分类讨论,然后分组求和可得Sn.
解:(1)k=,an+1=(an+an+2),
∴数列{an}为等差数列,
∵a1=1,a2=a,∴公差d=a-1,
∴S2019=2019=2019+×(a-1),解得a=1;
(2)设数列{an}是公比不为1的等比数列,则它的公比q==a,
∴am=am-1,am+1=am,am+2=am+1,任意相邻三项
am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列,
①an+1为等差中项,则2am+1=am+am+2.
即am-1+am+1=2am,解得a=1,不合题意;
②am为等差中项,则2am=am+1+am+2,
即2am-1=am+1+am,化简a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去);
③若am+2为等差中项,则2am+2=am+1+am,
即2am+1=am+am-1,化简得:2a2-a-1=0,解得a=;
∴k====.
综上可得,满足要求的实数k有且仅有一个;
(3)k=,则an+1=(an+an+2),
∴an+2+an+1=(an+1+an),an+3+an+2=(an+2+an+1)=an+1+an,
当n是偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+…+(an-1+an)
=(a1+a2)=(a+1).
当n是奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+…+(an-1+an)
=1+(a2+a3)=1+[-(a1+a2)]=1(a+1)(n≥1),
n=1也适合上式,
综上可得,Sn=.
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【题目】杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示,在“杨辉三角”中,去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列前135项的和为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知圆,过点向圆引两条切线,,切点为,,若点的坐标为,则直线的方程为____________;若为直线上一动点,则直线经过定点__________.
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【题目】随着电子阅读的普及,传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示:
根据这9年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.243;
根据后5年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.984.
(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入,现在有两个方案,
方案一:选取这9年数据进行预测,方案二:选取后5年数据进行预测.
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适?
附:相关性检验的临界值表:
(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书,据统计,在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为,现用此统计结果作为概率,若从上述读者中随机调查了3位,求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.
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【题目】下面命题正确的是( )
A.“”是“”的 充 分不 必 要条件
B.命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.
C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设,则“”是“”的必要 不 充 分 条件
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【题目】已知,,过的直线与轴交于点,与轴交于点,记与坐标轴围成的三角形的面积为.
(1)若,且,求直线的方程;
(2)若、都在正半轴上,求的最小值;
(3)写出面积的取值范围与直线条数的对应关系.(不需要证明)
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【题目】已知椭圆 的长轴长为4,焦距为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过动点的直线交轴与点,交于点 (在第一象限),且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点,延长交于点.
(ⅰ)设直线的斜率分别为,证明为定值;
(ⅱ)求直线的斜率的最小值.
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