【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=log4(a2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.
【答案】解:(1)由函数f(x)是偶函数可知:f(x)=f(﹣x),
∴,化简得,
即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-.
(2)由题意可得,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程有且只有一个实根,
化简得:方程有且只有一个实根,且a2x+a>0成立,则a>0.
令t=2x>0,则(a﹣1)t2+at﹣1=0有且只有一个正根,
设g(t)=(a﹣1)t2+at﹣1,注意到g(0)=﹣1<0,
所以①当a=1时,有t=1,合题意;
②当0<a<1时,g(t)图象开口向下,且g(0)=﹣1<0,则需满足,
此时有a=-2+2;a=-2-2(舍去).
③当a>1时,又g(0)=﹣1,方程恒有一个正根与一个负根.
综上可知,a的取值范围是{-2+2}∪[1,+∞).
【解析】(1)由f(x)=f(﹣x),化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立,从而求得k的值.
(2)由题意可得,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,方程有且只有一个实根,且a2x+a>0成立,则a>0.令t=2x>0,则(a﹣1)t2+at﹣1=0有且只有一个正根,分类讨论求得a的范围,综合可得结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识,掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为),圆的参数方程为: (其中为参数).
(1)判断直线与圆的位置关系;
(2)若椭圆的参数方程为(为参数),过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点,求.
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【题目】某工厂拟造一座平面为长方形,面积为的三级污水处理池.由于地形限制,长、宽都不能超过,处理池的高度一定.如果池的四周墙壁的造价为元,中间两道隔墙的造价为元,池底的造价为元,则水池的长、宽分別为多少米时,污水池的造价最低?最低造价为多少元?
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【题目】已知是直线上任意一点,过作,线段的垂直平分线交于点.
(Ⅰ)求点的轨迹对应的方程;
(Ⅱ)过点的直线与点的轨迹相交于两点,( 点在轴上方),点关于轴的对称点为,且,求的外接圆的方程.
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【题目】如图所示的是一个几何体的直观图和三视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形).
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若G为BC上的动点,求证:AE⊥PG.
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【题目】当今信息时代,众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响,随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩,用茎叶图表示如下图:
(1)根据茎叶图中的数据完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响?
及格() | 不及格 | 合计 | |
很少使用手机 | |||
经常使用手机 | |||
合计 |
(2)从50人中,选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙,解一道数列题,甲、乙独立解决此题的概率分别为, , ,若,则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”,记为两人中解决此题的人数,若,问两人是否适合结为“师徒”?
参考公式及数据: ,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】已知椭圆与抛物线共焦点,抛物线上的点M到y轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点Q满足.
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点,设线段AB的中点为,求的取值范围.
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