Question

(本小题满分12分)
如图，已知直平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．
（I）求证：A₁D⊥平面BDE；
（II）求二面角B―DE―C的大小；

Answer 1

arctan

（1）∵AA₁⊥面ABCD，∴AA₁⊥BD，又BD⊥AD，
∴BD⊥A₁D        -------------------3分
又A₁D⊥BE，
∴A₁D⊥平面BDE  ------------------- 5分
(2)连B₁C，则B₁C⊥BE，易证RtΔCBE∽RtΔCBB₁，
∴=，又E为CC₁中点，∴BB₁²=BC²=a²，
∴BB₁=a           ……………………………………………………………………7分
取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD₁，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角  ……………………………………………………………………9分
RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan
……………………………………………………………………………………………12分
(2)另解：以D为坐标原点，DA为x轴、DB为y轴、DD₁为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,a,0)，设A₁(a,0,x)，E(-a,a,)，=(-a,0,-x)，=(-a,0,)，∵A₁D⊥BE
∴a²-x²=0，x²=2a²，x=a，即BB₁=a.