Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，且EF⊥PB．
（1）求证：PB⊥平面DEF；
（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

方法一：（几何法）
证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC．又∵DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB．
又EF⊥PB，∴PB⊥平面DEF．…（6分）
（2）解：由（1）得PB⊥平面DEF，∴PB⊥FD．
又EF⊥PB，∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角…（8分）
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=．
∵PD⊥DB，∴，
∴．
由（1）知DE⊥平面PBC，
∴DE⊥EF．
在，∴∠EFD=60°
故所求二面角C-PB-D的大小为60°…（12分）
方法二：（向量法）
证明：（1）如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0）A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）…（1分）
∵（2）
∵，∴，
即PB⊥DE．
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面DEF．…（6分）
解：（2）设平面PBC的法向量为n₁=（x，y，z），
则即
令y=1，得n₁=（0，1，1）．
同理可得平面PBD的法向量为n₂=（1，-1，0），
∴．
∵二面角C-PB-D小于90°，
∴二面角C-PB-D的大小为60°．…（12分）
分析：方法一（几何法）（1）由已知PD⊥底面ABCD，结合PD=DC，点E是PC的中点，可得PD⊥BC，DE⊥PC，由线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PBC，则DE⊥PB，结合已知中EF⊥PB和线面垂直的判定定理，我们可证得PB⊥平面DEF；
（2）由（1）中结论PB⊥平面DEF，可得PB⊥FD，结合EF⊥PB，及二面角的定义，可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△EFD即可得到二面角C-PB-D的大小．
方法二（向量法）（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出PB，DE的方向向量，易根据其数量积为0得到PB⊥DE结合EF⊥PB及线面垂直的判定定理可得PB⊥平面DEF；
（2）分别求出平面PBC及平面PBD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-PB-D的大小．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中方法一的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直之间的转化及二面角的定义，方法二的关键是建立空间坐标系，将空间线线垂直及二面角问题转化为向量夹角问题．