Question

已知函数f（x）=x²+（x≠0，a∈R）
（1）当a为何值时，函数f（x）为偶函数；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函数，根据函数奇偶性的定义，可判断出a=0时，f（x）=x²为偶函数；
（2）根据f（x）在区间[2，+∞）是增函数，结合函数单调性的定义，可得当x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．
解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x²为偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设x₂＞x₁≥2，=，
由x₂＞x₁≥2得x₁x₂（x₁+x₂）＞16，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数只需f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，则a≤16．
另解（导数法）：，要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数，只需当x≥2时，f'（x）≥0恒成立，即，则a≤2x³∈[16，+∞）恒成立，
故当a≤16时，f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的性质，熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义，将已知转化为关于参数a的方程（不等式）是解答本题的关键．