Question

【题目】已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.
（1）求f(x)的解析式；
（2）k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根
（3）设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，所以 .

又f(x)在 处取得极值2，所以 ，即 解得 ，

经检验满足题意，所以 .

（2）解： ，令 ，得 .

当 变化时， 的变化情况如下表：

所以f(x)在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，

又 时， ，所以 的最小值为 ，

如图

所以k= 或0时，方程有一个根。

（3）解：由（2）得 的最小值为 ，

因为对任意的 ，总存在 ，使得 ，

所以当 时， 有解，

即 在 上有解.

令 ，则 ，所以 .

所以当 时， ；

的取值范围为 .

【解析】（1）含两个参数m,n的函数，由条件得到关于m,n的方程组求m,n的值得函数的解析式.
（2）通过导函数研究函数的单调性和极值,由数形结合得到方程有一个实根时参数k的范围.
（3）对于双参数任意和存在性问题，要转化为两个函数的最大值和最小值的不等式，利用导函数求解.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．