Question

【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．

（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；

（2）若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求二面角A－A1M－B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根据正弦定理求底面的面积，再由棱柱的体积公式求得体积，即可；（2）先根据题干条件得到以及图形特点得到AM⊥平面ABB1A1再建立坐标系，求得二面角的余弦值即可.

（1）因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，

所以．

所以．

（2）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos∠BAC

，

所以．

因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，

所以．

因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，

所以∠ACB＝∠ABC＝30°．

由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB

，

所以．

所以CM＝AM，

所以∠ACM＝∠CAM＝30°，

所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°，即AM⊥AB．

易知AA1⊥平面ABC，AM平面ABC，

所以AA1⊥AM．

又因为AB∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．

以A为原点，AM，AB，AA1分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则点A（0，0，0），M（，0，0），A1（0，0，3），B（0，2，0），

所以，．

设平面A1BM的法向量为m＝（x0，y0，z0），则

令z0＝2，得m＝（，3，2），易得平面AA1M的一个法向量为n＝（0，1，0）．

设二面角A－A1M－B的平面角为θ，由题意，得θ为锐角，则．

所以二面角A－A1M－B的余弦值为．