Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间(k，k+

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)上是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，令导函数在1处的值为1，函数经过（1，f（1）），列出方程组求出a，b的值，得到函数的解析式．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，求出函数的单调区间，推出k的范围即可．

解答：解：（I）函数f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．
所以f′（x）=3x²+2ax+b，所以f′（1）=3+2a+b=1…①，函数经过（1，f（1）），即：5=1+a+b+1…②；
解①②得：a=-5，b=8；
所以函数的解析式为：f（x）=x³-5x²+8x+1．
（Ⅱ）由（1）可知f′（x）=3x²-10x+8，令3x²-10x+8=0，即x=2，x=

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，当x＜

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时函数是增函数，

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≤x≤2时函数是减函数，x＞2时，函数是增函数，函数f（x）在区间(k，k+

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)上是单调函数，
所以k≤

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或k=

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或k≥2时，满足题意．

点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，函数的切线方程的应用，函数的单调性与单调区间的求法，考查计算能力，转化思想．常考题型．