Question

已知f（x）是对数函数且f（

3

+1）+f（

3

-1）=

1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若实数a满足f（2a-1）＜f（5-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=log_bx（b＞0，且b≠1）（x＞0）．利用对数的运算法则即可得出b．
（2）利用对数函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设f（x）=log_bx（b＞0，且b≠1）（x＞0）．
∵f（

3

+1）+f（

3

-1）=

1

2

．
∴logb[(

3

+1)(

3

-1)]=log_b2=

1

2

，
∴b=4．
∴f（x）=log₄x．
（2）∵实数a满足f（2a-1）＜f（5-a），
∴0＜2a-1＜5-a，
解得

1

2

＜a＜2．

点评：本题考查了对数函数的单调性及其对数的运算法则，属于基础题．