Question

设x=-1是f（x）=（x²+ax+b）e^2-x（x∈R）的一个极值点，
（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间
（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ₁λ₂∈[-2，1]总有|f（λ₁）-f（λ₂）|＜[（m+2）a+1]e³恒成立，若存在求出m的范围．若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首要的是求出函数的导数，利用已知函数在x=-1处取得极值，可以建立参数a，b的关系，从而利用a表达出b，另外x=-1是极值点可得a≠-4，因此要注意对a进行讨论：a＜-4和a＞-4，从而求出函数的单调区间；
（2）根据函数的单调性求出函数f（x）的值域，设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e³＞e⁴-（a-2）e³恒成立，从而（m+3）a-e-1＞0恒成立，看成关于a的一次函数在[-2，1]上恒成立，建立关系式，解之即可．
解答：解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^2-x
由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x

由于x=-1是f（x）的极值点，故x₁≠x₂，即a≠4
①当a＜4时，x₂＞x₁，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）
的单调减区间．…（4分）
②当a＞4时，x₂＜x₁，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，
f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e³，e⁴]…（8分）
假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e³＞e⁴-（a-2）e³恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
则有，即m≤-4-e
故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题和极值等有关问题，是一道综合题，属于中档题